GeoGebra: Το πρόβλημα του Χαμένου Θησαυρού

Πειρατές αποφασίζουν να θάψουν το θησαυρό τους σε ένα νησάκι. Βρίσκουν τρία δέντρα Α, Β και Γ, τα οποία χρησιμοποιούν για οδηγό ως εξής:

- Ξεκινώντας από το δέντρο Α κατευθύνονται κάθετα στην ευθεία ΑΓ κατά τμήμα ΑΔ έτσι ώστε ΑΔ=ΑΓ (η κόκκινη απόσταση).
- Αντίστοιχα, ξεκινώντας από το Β και κατευθυνόμενοι κάθετα στην ευθεία ΒΓ, εντοπίζουν το σημείο Ε έτσι ώστε ΓΒ=ΒΕ (η πράσινη απόσταση).
- Στο μέσο Χ του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ τοποθετούν το θησαυρό και φεύγουν!

Μετά από κάποια χρόνια πηγαίνουν να πάρουν το θησαυρό προκειμένου να πληρώσουν κάτι χρέη σε τράπεζες. Το δέντρο Γ όμως δεν υπάρχει πλέον. Απογοητευμένοι που δεν μπορούν να ακολουθήσουν τα βήματα της κατασκευής τους ώστε να βρουν το σημείο Χ φεύγουν και αφήνουν πίσω τους θαμμένο για πάντα το θησαυρό.

Μήπως εμείς που γνωρίζουμε Γεωμετρία μπορούμε να εντοπίσουμε το Χ ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τη θέση του σημείου Γ;
Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο πρόβλημα χρησιμοποιώντας κάποιο Λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας.  Στο παρακάτω έχω χρησιμοποιήσει το GeoGebra. Εάν χρησιμοποιείτε το EucliDraw μπορείτε να εργαστείτε στο αρχείο treasure.euc

Treasure Problem

Παρατηρήστε τις διάφορες θέσεις που θα λάβει το σημείο Χ του θησαυρού εάν μετακινήσετε τα σημεία Α και Β. 
Δοκιμάστε τώρα να μετακινήσετε και το Γ σε διάφορες θέσεις. Τι παρατηρείτε;
Αποκάλυψη... όποιο και να είναι το σημείο Γ, ο θησαυρός δεν αλλάζει. Δηλαδή η θέση του είναι ανεξάρτητη του σημείου Γ. Αυτό μας καθιστά ικανούς να βρούμε το θησαυρό χρησιμοποιώντας όποιο σημείο του επιπέδου θέλουμε για οδηγό στη θέση του χαμένου Γ επαναλαμβάνοντας την αρχική κατασκευή των πειρατών

... ή μήπως υπάρχει και πιο απλός τρόπος για να βρούμε το Χ; Μετακινήστε το Γ σε κάποιες "ειδικές" θέσεις.

Μια θέση που μπορεί να βοηθήσει είναι να τοποθετήσετε το Γ στο μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Τι παρατηρείτε;

δεύτερη αποκάλυψη... Βρήκατε ποιο είναι το σημείο Χ; Τι ιδιότητες έχει; Πώς μπορώ κατευθείαν από το ΑΒ να οδηγηθώ στο Χ χωρίς τη χρήση του δέντρου Γ;

Βέβαια βρήκατε... 
Εάν τοποθετήσουμε το Γ στη μέση του ΑΒ, το τετράπλευρο ΑΒΕΔ γίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τότε τα κόκκινα, τα πράσινα και τα μπλε ευθύγραμμα τμήματα γίνονται όλα ίσα μεταξύ τους και ίσα με ΑΒ/2 το καθένα.  Η ΧΓ συνδέει τα μέσα των βάσεων του, άρα η ΧΓ είναι και αυτή ίση με ΑΒ/2.
Βρήκαμε λοιπόν τρόπο να φτάσουμε στο Χ χρησιμοποιώντας μόνο τα σημεία ΑΒ.

Από μια ειδική θέση στο Γ, μας έρχεται η έμπνευση να φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, να βρούμε το μέσον του και να το ενώσουμε με το σημείο Χ

[Αυτή τη δουλειά θα μπορούσατε να την κάνετε με το μυαλό, μετακινώντας τα σημεία σε ακραίες θέσεις μόνο με τη φαντασία σας; Αυτή είναι η μαγεία της Γεωμετρίας. Με τέτοιες τεχνικές ανακαλύπτεις μαθηματικά. Αυτή την ικανότητα θέλουμε να δώσουμε στους μαθητές μας. Ακόμη και σε εκείνους που δεν έχουν τόση φαντασία. Μήπως η χρήση του υπολογιστή με τον τρόπο αυτό μπορεί να τους προπονήσει στη φαντασία;]

Εμφανίστε το "Μέσον του ΑΒ" χρησιμοποιώντας το κουτάκι επιλογής. Αλλάξτε θέση στα Α, Β, Γ. Τώρα γνωρίζετε τα πάντα για το σημείο Χ.

Μπορείτε να αποδείξετε την εικασία που κάναμε; Τώρα το πρόβλημα του θησαυρού έχει αλλάξει εκφώνηση.
"Να αποδειχθεί ότι το σημείο Χ είναι το σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ για το οποίο ισχύει: ΜΧ=ΑΜ"

Θα μπορούσε να ρωτήσει κανείς: Εφόσον είδαμε στο λογισμικό ότι ισχύει γιατί πρέπει και να το αποδείξουμε;

Παρόλο που η διαίσθηση μας λέει ότι θα ισχύει οποιαδήποτε και να είναι τα σημεία Α,Β,Γ εμείς στο πρόγραμμα είδαμε τι συμβαίνει στη μικρή περιοχή της οθόνης μας. Εάν θέλουμε να είμαστε σίγουροι ότι ισχύει γενικά, χρειαζόμαστε απόδειξη.
Τέλος, μόνο η μαθηματική απόδειξη θα μπορούσε να μας εξηγήσει και το "γιατί ισχύει η εικασία που κάναμε". Επίσης οι παρατηρήσεις που κάναμε ίσως μπορούν να μας οδηγήσουν και σε μια απόδειξη.
Εσείς μπορείτε να το αποδείξετε;
Δείξτε ότι εάν η κάθετη από το Χ προς την ΑΒ, τέμνει την ΑΒ στο Μ τότε ΜΧ=ΑΜ=ΜΒ
.

(Η κατασκευή στο πρόγραμμα δυναμικής γεωμετρίας είναι πολύ απλή. Εάν κατεβάσετε το αρχείο treasure.ggb και το ανοίξετε στο GeoGebra μπορείτε εύκολα να δείτε τα βήματα επιλέγοντας Προβολή -> Πρωτόκολλο Στοιχείων Κατασκευής)

Θα χαρώ να μου στείλετε τις ιδέες σας, τις παρατηρήσεις και τις διορθώσεις σας, χρησιμοποιώντας τη φόρμα επικοινωνίας.

Εάν δεν μπορείτε να κάνετε την απόδειξη ρίξτε μια ματιά εδώ.
ċ
treasure.euc
(7k)
Alkeos Souyoul,
Apr 8, 2011, 7:59 AM
ċ
treasure.ggb
(7k)
Alkeos Souyoul,
Apr 8, 2011, 7:36 AM
ċ
treasure.xml
(6k)
Alkeos Souyoul,
Apr 8, 2011, 7:36 AM
Comments